Хвилевий пакет. Групова та фазова швидкість

Базуючись на припушенні суперпозиції хвиль і розкладання Фур’є можна замінити будь-яку несинусоїдальну хвилю еквівалентною їй системою синусоїдальних хвиль, тобто подати в вигляді групи хвиль або хвилевого пакета:

сукупність значень частот цих синусоїдальних хвиль називається спектром частот розглянутої несинусоїдальної хвилі. В залежності від характеру коливань, збуджуваних хвилею, спектр частот останньої може бути дискретним або неперервним.

Найпростішою групою хвиль є квазісинусоїдальна плоска хвиля, що отримується в результаті накладання двох розповсюджених вздовж вісі Х плоских хвиль з однаковими амплітудами і близькими по значенню частотами і хвилевими числами:

Залежність S від х в деякий фіксований момент часу показана на молюнку. Ця хвиля відрізняється від синусоїдальної тим, що її амплітуда

– повільно змінювальна функція координати х і часу t. За швидкість розповсюдження цієї несинусоїдальної хвилі приймають швидкість v перемішення точки М, в якій амплітуда А має будь-яке фіксоване значення. (напр.. А = 0, або А = 2А₀). Отже, точка М рухається по закону: . Звідки

Швидкість U називається груповою швидкістю. Вона дорівнює швидкості переносу енергії квазісинусоїдальною хвилею. Групова швидкість – придатна для описання переносу енергії (передачі сигналу) через несинусоїдальні хвилі, що мають інший спектр частот, при умові, що спектр не досить широкий, а дисперсія хвиль в середовищі для цих частот не дуже велика.

Зв’язок між груповою () і фазовою швидкостями хвиль має вигляд:

,

де λ – довжина хвилі. В не диспергованому середовищі dv/dλ=0 і групова швидкість співпадає з фазовою.

Швидкість U розповсюдження синусоїдальної хвилі називається фазовою. Вона дорівнює швидкості перемішення в просторі точок поверхні, що відповідає будь-якому фіксованому значенню фази синусоїдальної хвилі. Наприклад , бля плоскої хвилі :

Для сферичної синусоїдальної хвилі: