Властивості перетворення Лапласа

Нехай задана функція , де t — дійсна її змінна.

Тоді перетворенням Лапласа називається інтеграл: . (1)

Тобто, коли у відповідь функції f(t) ставиться функція F(p), де: ,

– оригінал, – зображення (при виконанні умови збіжності інтегралу).

Позначення перетворення Лапласа: .

Не всяка функція може бути оригіналом. Достатньою умовою для того, щоб функція вважалась оригіналом може бути:

1) , якщо ,

; якщо .

2) повинна мати гладку форму, тобто, бети диференційованою.

3) має зростати не швидше, ніж показникові функція.

Тобто, при існуванні двох чисел S та C повинна виконуватись така нерівність:

.

Найменші значення чисел f позначаються d₀.

Справедлива така теорема: якщо f(t) — функція-оригінал з індексом розпаду d₀, то інтеграл (1) буде рівним: .

Властивості перетворення Лапласа.

Властивість 1: Лінійність.

, , тому .

Властивість 2: Диференціювання оригіналу.

, ,

.

Властивість 3: Подібність.

, .

Властивість 4: Інтегрування оригіналу.

, .

Властивість 5: Теорема зміщення. .

Властивість 6: Диференціювання зображення.

, .

Узагальнено: .

Властивість 7: Інтегрування зображення.

Властивість 8: Теорема запізнення. Якщо , то , .

Властивість 9: Зображення періодичного оригіналу.

Якщо на ; , де Т- період, к – натуральне число, то

.