Диференціал функції

Нехай функція диференційовна на відрізку [a,b]. Похідна цієї функції в деякій точці х відрізка [a,b] визначається рівністю: . Відношення при прямує до на бескінечно малу величину: , де при . Домножимо всі члени останнього рівняння на , отримаємо: . Оскільки в загальному випадку , то при постійній х і змінній похідна є бескінечно малою величино першого порядку відносно . Похідна є бескінечно малою величино вищого порядку відносно , оскільки . Таким чином, приріст функції складається з двох складових, з яких перша складова це головна частина приросту, що лінійна відносно . Похідну називають диференціалом функції і позначають або .

Таким чином, якщо функція має похідну в точці х, то похідна похідної на приріст аргумента називається диференціалом функції: .

Геометричний та фізичний зміст диференціалу

Нехай функція , яка у точці х₀ має похідну, наближено замінимо на лінійну функцію поблизу точки х₀. З усіх прямих ліній, які проходять через точку М лише дотична має найменшие відхилення від даної функції. Отримаємо функцію із рівняння дотичної: , , .

З геометричної точки зору: ; з рис. , . Отже, диференціал дорівнює приросту ординати дотичної, що відповідає приросту аргумента . В основі введення поняття диференціалу з геометричної точки зору лежить ідея наближеної заміни криволінійних геометричних об’єктів відповідними прямолінійними об’єктами.

З фізичної точки зору: нехай функція задає закон руху матеріальної точки. Який шлях проходить точка за проміжок часу . Якщо , то . В данному випадку диференціал – це час, який прошла дана матеріальна точка, якби вона рухалась рівномірно з швидкістю . В основі введення поняття диференціалу з фізичної точки зору лежить ідея наближеної заміни нерівномірного процесу рівномірним.