Числові ряди

Числовим рядом називається новоутворення, яке записується у вигляді

Елемент a_n називається загальний член ряду, або загальний елемент ряду.

Нехай S_n=a₁+…+a_n – n-на часткова сума ряду. Розглянемо послідовність n-них часткових сум: S₁ ,S₂ ,…,S_n,..

Сумою ряда називається границя послідовності його часткових сум, якщо ця границя існує:

th 1: (Необхідна умова збіжності ряду)

Якщо даний ряд збігається, то його загальний член прямує до 0, коли

– збігається, отже

Наслідок: (Достатня умова розбіжності ряду)

Якщо загальний член ряду не прямує до 0, коли , то ряд збігається.

– розбіжний.

th 2: Для того, щоб даний ряд збігався необхідно і достатньо, щоб його залишок , коли :

.

Розглянемо два збіжних ряди :

та

Властивість 1: Збіжний ряд можна почленно множити на будь-яку константу. При цьому збіжність не порушується, а сума множиться на дану константу

.

Властивість 2: Збіжні ряди можна почленно додавати або віднімати. Збіжність не порушується. Суми рядів відповідно додаються, або віднімаються.

Властивість 3: Збіжність ряду не порушується якщо від цього ряду відкинути або до цього ряду додати будь-яку скінчену кількість доданків.

Степеневі ряди:

Функціональний ряд називається степеневим, якщо його загальний член є степеневою функцією виду: 1) U_n(x)=c_nxⁿ; 2)U_n(x)= c_n (x-x₀)ⁿ

Область збіжності степеневого ряду є множина таких чисел, що –R<x<R,

Ряд Тейлора:

Розглянемо функцію f(x), яка в околі т. х=х₀ має похідні усіх порядків. Припустимо, що дану функцію можна записати у вигляді суми степеневого ряду:

f(x)=c₀+c₁(x-x₀)+ c₂(x-x₀)²+..+ c_n(x-x₀)ⁿ

В околі точки х₀, знайшовши коефіцієнти ряду отримаємо:

Областю абсолютної збіжності даного ряду є уся числова вісь.

Ряди Фур’є:

Для вивчення властивостей періодичних функцій зручно їх подавати у вигляді суми ряду, складеної з тригонометричних функцій.