Алгебра матриць. Матриці

Матрицею розмірності m×n називається таблиця виду

де a_ij – числа або функції

Перший індек елемента матриці – номер рядка, другий індекс – номер стовпчика.

Дві матриці називають рівними якщо вони мають однакову розмірність і їх відповідні елементи рівні між собою. Матриця для якої m=n називається квадратною, а число n – її порядком. Матриця у якої всі елементи дорівнюють нулю називається нульовою (О).

Розглянемо деяку квадратну матрицю розмірністю n

,

Квадратна матриця у якої елементи головної діагоналі = 1, а решта нулі називається одиничною матрицею (Е, Е_n). Квадратна матриця у якої елементи що стоять під або над головною діагоналлю = 0 називається трикутною. Квадратна матриця у якої лише елементи головної діагоналі відмінні від нуля називається діагональною матрицею. Діагональна матриця у якої всі елементи рівні називається скалярною.

Операції над матрицями

Сумою двох матриць (а_ij)_m×n, (b_ij)_m×n буде матриця розмірністю m×n кожен елемент якої = сумі відповідних елементів даних матриць.

Добутком матриці (а_ij)_m×n і числа буде матриця (b_ij)_m×n кожен елемент якої є добутком відповідного елемента на чило .

Якщо в матриці А замість першого стовпчика записати перший рядок, замість другого стовпчика другий рядок то отримаємо матрицю транспоновану даній (А^Т).

Матриця А розмірністю n називається симетричною якщо А^Т=А, тобто всі елементи даної матриці симетричні відносно головної діагоналі, рівні між собою

Квадратна матриця називається кососиметричною якщо А^Т=-А, тобто . При цьому елементи головної діагоналі повинні = 0

Елементарні перетворення: 1) престановка місцями будь-яких двох рядків, чи стовпчиків; 2) множення будь-якого рядка чи стовпчика на число відмінне від нуля; 3) додавання до будь-якого рядка (стовпчика) іншого рядка (стовпчика) помноженого на число відмінне від нуля.

Матриця отримана при виконанні одного з елементарних перетворень називається елементарною.

Матрицю А можна помножити на матрицю В тільки тоді коли кількість стовпчиків матриці А співпадає з кількістю рядків матриці В.

Матриці множаться за правилом рядок на стовпчик. Щоб отримати С_ij потрібно помножити і-ий рядок матриці А, та j-ий стовпчик матриці В.

Властивості операцій над матрицями

1) оперція додавання комутативна А+В=В+А

2) операція додавання асоціативна (А+В)+С=А+(В+С)

3) А+О=А

4) А–А=О

5)

6) Дистрибутивність операцій множення відносно операцій додавання А(В+С)=АВ+АС

7) Асоціативність операцій множення А(ВС)=(АВ)С

8) А_n×E=A_n

9) A×O=O

10) (A+B)^T=A^T+B^T

11) (A×B)^T=A^T×B^T

Визначником n-го порядку матриці А_n називається алгебраїна сума n! членів кожен з яких є добутком n елементів взятих по одному з кожного рядка і стовпчика зі знаком (-1)^t.

Нехай маємо матрицю другого порядку . Її визначник обчислюється за формулою

Матриця називається оберненою до матриці А якщо А^-1×А=А×А^-1=Е