Дивергенція векторного поля

Розглянемо деяку точку P векторного поля A(P) і оточимо її замкнутою поверхнею S, що повністю знаходиться у полі. Обчислимо потік вектора через поверхню S і візьмемо відношення цього потоку до об’єму V області Ω, обмеженою поверхнею S:

A_n(P) – проекція векторного поля на нормаль n до поверхні S в будь-якій її точці

В полі швидкостей рідини це відношення визначає кількість рідини, що виникає за одиницю часу в області Ω, віднесене до одиниці об’єму, тобто середню об’ємну потужність джерела, а якщо потік зсередини поверхні S менше нуля, то говорять про потужність стоку.

Знайдемо тепер границю відношення:

при умові, що область Ω стягується в точку P, тобто V прямує до нуля.

Якщо ця границя додатна, то точка P називається джерелом, а якщо від’ємна, то стоком. сама величина границі характеризує потужність джерела чи стоку.

Дивергенцією (розбіжністю) векторного поля A(P) в точці P називається границя відношення потоку вектора через поверхню, що оточує точку P, до об’єму, обмеженого цією поверхнею, за умови, що вся поверхня стягується в точку P:

при чому границя обчислюється за умови, що поверхня стягується в точку P.

Дивергенція векторного поля A(P)=A_xi+A_yj+A_zk виражається формулою:

де значення частинних похідних беруться в точці P.

Якщо divA(P)=0, то поле A(P) називається соленоїдальним.

Властивості дивергенції:

1.

де C₁ і C₂ – скалярні постійні

2.

де A(P) – функція, що задає векторне поле; u(P) – функція, що задає скалярне поле.