Математичні основи побудови емпіричної функції

Нехай у результаті досліджень дістали таку таблицю деякої функці­ональної залежності:

Таблиця 1

Треба знайти аналітичний вигляд функції у=f(х) яка добре відобра­жала б цю таблицю дослідних даних. Функцію у=f(х) можна шукати у ви­гляді одного з інтерполяційних поліномів, які не завжди добре відобража­ють характер поведінки таблично заданої функції. До того ж значення у. дістають у результаті експерименту, а вони, як правило, сумнівні. В такомх разі інтерполювання табличної функції не має сенсу. Тому шукають таку функцію y=F(x), значення якої при х=х, досить близькі до табличних зна­чень, (i=1,2,…,n). Формулу у=Y(х) називають емпіричною, або рівнянням регресії у та х. Емпіричні формули мають велике практичне значення, вдало підібрана емпірична формула дає змогу не тільки апроксимувати су­купність експериментальних даних, "згладжуючи" значення величини у, а й екстраполювати знайдену залежність на інші проміжки значень х.

Процес побудови емпіричної формули складається з двох етапів: встановлення загального вигляду цієї формули і визначення найкращих її параметрів.

Щоб встановити вигляд емпіричної формули, можна скористатись графічним методом. На площині будують точки з координатами (x,y) (і=1,2,…n). Деякі з цих точок-сполучають плавною кривою, яку проводять так, щоб вона проходила якомога ближче до всіх даних точок. Після цього візуально визначають, графік якої з відомих нам функцій найкраще підхо­дить до побудованої кривої. Звичайно, намагаються підібрати найпростіші функції: лінійну у=aх+b; степеневу у=ах^b; показникову у=аb^x; логарифмічну у=aLn(х)+b гіперболічну у=а/(х+b); дробово-лінійну у=1/(ах+b); дробово-раціональну у=х/(ах+b). Вибрати емпіричну формулу для нелінійних зале­жностей графічним методом важко. Тому доцільно вдатись до перевірки аналітичних умов існування певної залежності.Умови перевіряють у такий спосіб. Для цього на заданому відрізку зміни х обрати дві точки, наприклад х, і х„, досить надійні і розміщені яко­мога далі одна від одної. Залежно від типу емпіричної формули, що перевіряється, обчислюються значення (табл.2). Користуючись (табл.2). Користуючись табл.1 даних (x_i, y_i) (i=1,2,…,n) для значення x_s знаходять відповідне йо­му значення у_s* обчислене за формулою лінійної інтерполяції йо­му значення у_s* обчислене за формулою лінійної інтерполяції

(1.) у_s*= у_i +

де x_і i x_і+1 – проміжні значення, між якими лежить ( x_і < < x_і+1 ).

Таблиця 2

Обчисливши y*_s, знаходять | — y*_s|. Якщо ця величина велика, то ві­дома емпірична формула не придатна для апроксимації заданих табличних даних. З кількох придатних емпіричних формул перевагу надають тій, для якої відхилення | — y*_s| якомога менше. Після встановлення аналітичних критеріїв існування певної залежно­сті для побудови будь-якої з емпіричних формул необхідно:

1) за вихідною таблицею даних (x_i, y_i) побудувати нову таблицю (Xі,Yi), використавши відповідні формули переходу до нових координат, зо­бражених в табл.2;

2)за новою таблицею даних знайти коефіцієнти А і В лінійної функції;

3) за відповідними формулами знайти коефіцієнти а і b даної нелінійної залежності.

Таким чином, в результаті виконання вказаних дій буде знайдено рівняння регресії, яке описує зв’язок між значеннями у. залежної змінної У і значеннями х, незалежної змінної X. Причому використовується лінійна регресія, при якій функція у(х) має вигляд Y=A*X + B (2)

між відповідними формулами для визначення а i b за допо­могою обчислених А і В для обраного виду емпіричної залежності дозво­лить встановити остаточний вид емпіричної формули у вигляді y(x)=ax + b (3)

Похибку обчислень визначають за модулем різниці між відповід­ними початковими табличними значеннями у_; та значеннями, обчислени­ми за формулою (3).